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数学猜想

上传:admin 审核发布:admin 更新时间:2012-2-25 17:52:03 点击次数:2084

当前中学数学教材的一个重要特点体现在培养学生的探索性和创造性思维,要求教师组织学生对各种数学现象开展观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动,引导学生进行猜想、归纳,从而发现规律,主动获取新知,使学生在获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值取向等多方面得到进步和发展。这其中的一个重要环节,那就是数学猜想。这是一个看上去很难的问题,教师应怎样引导学生学会并运用猜想,首先必须对猜想的基本形式及方法有所了解,然后才能懂得如何去培养学生的猜想能力。

数学猜想的基本形式

1猜想:是对研究对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等,依据已有的材料和知识做出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程。G.波利亚说:“在你证明一个数学定理之前你必须猜想到这个定理,在你搞清楚证明细节之前,你必须猜想出证明的主导思想。”

2  数学猜想的基本形式:类比性猜想、归纳性猜想、探索性猜想、仿造性猜想、审美性猜想等

21  类比性猜想:是用类比的方法,通过比较两个对象或问题的相似性——部分相同或整体相似,得出数学新命题或新方法的猜想。AB两类事物中,A有性质P成立,B也有性质成立,A类中还有性质Q成立,B类中是否也有性质成立呢?这是一个类比猜想的思维过程。

例如,已知命题三角形三条中线交于一点,且这一点是三角形的内切圆的圆心得出猜想命题:四面体的六个二面角平分面交于一点,且这一点是四面体内切球的球心。在求解或者证明某一命题时,往往可以联想它的类比问题从而猜想解题的问题的方向和途径。数学中常见的类比有:立体几何与平面几何的类比,指数函数与对数函数的类比,等式与不等式的类比,有理数与无理数的类比,等差数列与等比数列的类比,

22  归纳猜想:是指运用归纳法,对研究对象或问题从一定数量的个例、特例进行观察、分析,从而得出有关命题的形式、结论或方法的猜想。一类事物A中的部分个体A1A2…An都具有性质P,那么A中的全部个体是否都具有性质P呢?这就是一个归纳猜想的思维过程。例如哥德巴赫在数学研究中观察到的:3+7=10,3+17=20,13+17=30…在形式上可以写成10=3+720=3+1730=13+17…观察可发现:371317都是素数,可见102030,这三个偶数都可以表示为两素数之和。于是他产生了这样的一个想法:其它的偶数是否也具有这样的规律呢?他还进行了一些特例验证:6=3+38=3+512=5+714=3+11。于是他提出猜想:每一个大于4的偶数都等于两个偶数之和。

23  探索猜想:是指运用尝试探索法,依据已有的知识和经验,对研究对象或问题作出逼近结论的方向性或局部性的猜想。它需要探索分析的深入程度加以修改而逐步增强其可靠性或合理性。

在解决某些数学问题时沿一种固定思路可能难以达到效果,沿相反方向进行思考,可提出新的猜想。十九世纪,数学家高斯、罗巴切夫斯基利用逆向思维,猜想到第五公理不能由其它公理或公设推出,因而可以用相反的命题代替,这样就导致非欧几何平行公理的提出和非欧几何的诞生。

     24  仿造性猜想:是指由于受到物理学、生物学、或其它科学中有关的客观事物、模型或方法的启示,依据它们与数学对象或问题之间的相似性做出的有关数学规律或方法的猜想。模拟方法是形成仿造性猜想的主要方法。如从光线反射规律猜想数学中有关最短线路的解答。

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